HOMOMORFISMA

1.1 Pengertian Homomorfisma





Homomorfisma merupakan struktur peta yang menghubungkan dua struktur aljabar.


Definisi 1.1

Bila (G, .) dan (G, .) adalah merupakan dua grup, maka fungsi disebut homomorfisme grup, bila :



Bila grup-grup tersebut memiliki operasi berbeda, misalnya (G, .) dan (G, o), maka fungsi disebut homomorfisma grup, bila :


Contoh-contoh:

• G = himpunan bilangan rasional dengan operasi +, G’=himpunan bilangan riil (tanpa 0) dengan operasi x.
Pemetaan :G G’ didefinisikan sebagai (x) = 2x,
untuk semua x G. Perhatikan bahwa (a+b) = 2a+b = 2a x 2b = (a) x (b), sehingga adalah homomorfisma.

• G adalah himpunan bilangan riil positif dengan operasi x. G’ adalah himpunan bilangan riil dengan operasi +. Pemetaan : G G’ sebagai berikut: (x) = log x, untuk setiap x G. Pemetaan: (ab) = log ab = log a + log b = (a) + (b), sehingga adalah homomorfisma.

Catatan :

1. operasi pada G dan G’ tidak harus sama
2. operasi pada G dan G’ sering kali tidak dinyatakan, sehingga (a . b) = (a) * (b) hanya ditulis (ab) = (a) (b)



Contoh 1.:

Misalkan G = R – {0} adalah grup dari bilangan-bilangan real tak nol terhadap perkalian, G‘ = {1, -1} juga grup terhadap perkalian. Dibentuk suatu pemetaan f dari G ke G’ yang didefinisikan, G = R – {0} berlaku :






Ambil sebarang x, y G maka x 0, y 0, sehingga :
- jika x > 0, y > 0 berarti xy > 0, f(x) = f(y) = 1, f(xy) = 1, maka f(xy) = f(x)f(y)
- jika x > 0, y < 0 berarti xy < 0, f(x) = 1, f(y) = f(xy) = -1 maka f(xy) = f(x)f(y) - jika x < 0, y > 0 berarti xy < 0, f(y) = 1, f(x) = f(xy) = -1 maka f(xy) = f(x)f(y) - jika x < 0, y < 0 berarti xy > 0, f(x) = f(y) = -1, f(xy) = 1 maka f(xy) = f(x)f(y)

Jadi x, y G berlaku (xy) = (x) (y), dengan kata lain suatu homomorfisma,


Contoh 2.:

Pengaitan g dari Z ke Q – {0} yang didefinisikan g(x) = 2x, Z maka g adalah homomorfisma, sebab :
i. g fungsi : y Z jika x = y maka g (x) = 2x = 2y = g (y)
ii. g homomorfisma : y Z, g(x + y) = 2x+y = 2x 2y =g(x)g(y)

Dari contoh 2., tampak bahwa operasi dalam grup Z adalah penjumlahan yang tidak sama dengan operasi pada Q – {0} yaitu perkalian.




Contoh 3.

Pengaitan h dari Z ke 2Z didefinisikan : h(a) = 2a untuk setiap a Z, maka h merupakan homomorfisma, sebab:
i. h fungsi : a, b Z jika a = b maka 2a = 2b, berarti h(a) = h(b)
ii. h homomorfisma : a, b Z, h(a + b) = 2(a + b) = 2a + 2b = h(a) + h(b)
1.2. Sifat-sifat Homomorfisma


Teorema 1.:

Misalkan homomorfisma dari G ke G’ maka :

1. (e) = e*, dengan e elemen identitas dalam G dan e’ elemen identitas
dalam G’.
2. (a-1) = (a)–1 untuk a G

Bukti:

Diketahui adalah homomorfisma dari G ke G’

1. Elemen identitas dalam G adalah e berarti x G berlaku xe = ex = x, maka :
(xe) = (x) atau (ex) = (x) fungsi
(x) (e) = (x) (e) (x) = (x) homomorfisma
(x)-1 (x) (e) = (x)-1 (x) (e) (x) (x)-1 = (x) (x)-1
e’ (e) = e’ (e)e’ = e’
(e) = e’ (e) = e’
2. dari teorema 1. Poin 1., di atas (e) = e’ = (x) (x)-1 untuk x G dan xx-1 = e sehingga (xx-1) = (x) (x-1) = (e) = e’, diperoleh : (x) (x-1) = (x) (x)-1 dan dengan sifat kanselasi pada G’, didapat (x-1) = (x)-1.




Definisi 1.2.:

Misalkan f homomorfisma dari G ke G* maka :


1. himpunan semua peta (bayangan) anggota dari G dalam G’ oleh ditulis (G), didefinisikan, (G) = { x’ G’ | x’ = (x) untuk suatu x G }

2. Kernel f dinotasikan dan didefinisikan ker = { x G | (x) = e’, e’ G’ }



Teorema 2.:

Misalkan homomorfisma dari G ke G’ maka :
a. (G) subgrup dari G’
b. Ker subgrup normal dari G




Definisi 1.3

a. Fungsi dari G ke G’ didefinisikan ( a,b G)a = b (a) = (b)

b. Fungsi disebut onto/pada/surjektif jika f(G) = G’ atau dengan kata lain : ( a’
G’)( ) sehingga a’ = (a).

c. Fungsi disebut injektif (1 – 1) jika ( a,b G) (a) = (b) a = b.

d. Fungsi disebut bijektif (korespodensi 1 – 1) jika injektif dan surjektif.




Definisi 1.4

a. Suatu homomorfisma dari G ke G yang injektif (1 – 1) disebut monomorfisma.

b. Suatu homomorfisma dari G ke G yang surjektif (pada/onto) disebut epimorfisma.

c. Suatu homomorfisma dari G ke G yang bijektif (injektif dan surjektif) disebut isomorfisma.

d. Suatu homomorfisma dari G ke G dan G = G’ disebut endomorfisma. (Suatu homomorfisma dari suatu grup G ke grup G itu sendiri.)

e. Endomorfisma yang bijektif disebut automorfisma.

f. Jika terdapat suatu homomorfisma dari G ke G’ maka dikatakan homomorfik.

h. Jika terdapat isomorfisma dari G ke G’ maka dikatakan G dan G’ isomorfik, dinotasikan G ~ G’.



B. Fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif




1. Fungsi Injektif

Adalah suatu fungsi dari x yang memetakkan tepat satu dianggota y, dimana setiap anggotanya paling banyak hanya mempunyai satu kawan di x. Jadi y Y boleh tidak mempunyai kawan di X, tetapi jika mempunyai kawan tersebut hanya satu.




2. Fungsi Surjektif

Adalah fungsi yang setiap anggota y mempunyai paling sedikit sau kawan di x, kawan tersebut boleh lebih dari satu.

Jadi, syarat fungsi Injektif dan Surjektif berpusat pada (kodomain).



3. Fungsi Biektif

Adalah fungsi yang Injektif dan juga sujektif (berkorespondensi satu-satu).










SIFAT-SIFAT HOMOMORFISMA

A. Endomorfisma

Endomorfisma adalah Homomorfisma : G  G (dari grup ke dalam dirinya sendiri).

Contoh 1

Ambil grup bilangan bulat (Z,+). Buat pemetaan  : ZZ sebagai berikut:  (x) = 2x.
Maka
 (x + y) = 2(x + y)
= 2 x + 2 y
=  (x) +  (y) untuk setiap x,yZ.

Bentuk  merupakan suatu endomorfisma.


Contoh 2

Apakah pemetaan berikut ini adalah endomorfisma dari grup yang diberikan?

a. (G,+),  : x -x
b. (G,.),  : x x2


Penyelesaian :
a. (G,+),  : x -x
Ambil
( x + y) T = - ( x + y )
= - x + ( - y )
= x T + y T
Jadi,  endomorfisma

b. (G,.),  : x x2
Ambil
 ( x ) = x¬2
 ( x y ) = (x¬ y)2
= (x y) (x y)
= x . x . y . y
= x¬2 . y2
=  ( x ) .  ( y )
Jadi,  endomorfisma



B. Automorfisma

Automorfisma adalah isomorfisma dari grup G ke dirinya sendiri.



Contoh 1 :

Apakah pemetaan berikut ini adalah automorfisma dari grup yang diberikan?
a. (G,+),  : x -x
b. (G,.),  : x x2
Penyelesaian :
(G,+),  : x -x


1. Ambil
 ( x ) = - x
 ( x + y ) = - ( x + y )
= - x + ( - y )
=  x +  y
Jadi,  endomorfisma

2. Ambil dan misalkan  ( x ) =  ( y )

 ( x ) =  ( y )
- x = - y
x = y

Syarat Injektif,  (1-1)

3. Ambil maka pilih x = - y

 ( x ) = y
 ( x ) = - x
= - ( -y )
= y

Syarat Surjektif,  onto

Jadi,  : x -x adalah automorfisma



b. (G,.),  : x x2

1. Ambil
 ( xy ) = x2
 ( xy ) = ( xy )2
= (xy )( xy )
= x . x . y . y
= x2 . y2
=  ( x ) +  ( y )
Jadi,  endomorfisma

2. Ambil dan misalkan  ( x ) =  ( y )
 ( x ) =  ( y )
x2 = y2
x2 - y2 = 0
(x - y )( x + y ) = 0

x = y (memenuhi) atau x = -y (tidak memenuhi karena x , y bilangan bulat positif) sehingga x = y
Syarat Injektif,  (1-1)

3. Ambil karena x , y > 0 berarti pilih


Syarat Surjektif,  onto

Jadi,  : x x2 adalah automorfisma




C. Monomorfisma

Monomorfisma adalah suatu homomorfisma dari G ke G’ yang injektif (1-1).
Contoh 1

Misalkan G = R – {0} adalah grup dari bilangan-bilangan real tak nol terhadap perkalian, G‘ = {1, -1} juga grup terhadap perkalian. Telah ditunjukkan suatu homomorfisma f dari G ke G’ yang didefinisikan,
G = R – {0} berlaku :



Selanjutnya, karena bayangan f atau f(G) = {1, -1} = G’ maka f suatu fungsi surjektif (pada/onto)maka homomorfisma f adalah epimorfisma.
Mudah untuk ditunjukkan bahwa f tidak 1-1, karena terdapat dan adalah bilangan real positif berbeda, tetapi
Jadi f tidak monomorfisma.

Contoh 2

Homomorfisma g dari Z ke Q – {0} yang didefinisikan maka g adalah monomorfisma, sebab :
jika f(x) = f(y) maka 2x = 2y berarti x = y, sehingga g fungsi injektif (1-1).
Akan tetapi g tidak surjektif, karena terdapat 2/3 adalah bilangan rasional tetapi



D. Pengertian Epimorfisma

Suatu homomorfisma dari G ke G yang surjektif (pada/onto) disebut epimorfisme.

Teorema 2.1.1.

Misalkan (G, o) dan (G, *) adalah grup. Jika pemetaan merupakan homomorfisme yang surjektif, maka N = adalah subgrup normal dari G.




Pembuktian :

G dan G’ dua buah grup dan suatu pemetaan yang epimorfisme. Jika N subgrup normal dari G maka subgrup dari G’.

Misalkan x’ G’ dan y’ (N)
y’ (N) berarti y N sehingga (y) = y’
epimorfisme berarti surjektif maka x G, (x) = x’

x y x-1 = (x) . (y) . ( (x))-1
= (x) . (y) . ( (x-1))
= (x y x-1) (N)

Karena x y x-1 (N) berarti (N) subgrup normal dari G’.






D. Pengertian Isomorfisme


Homomorfisme : G G’ disebut isomorfisme jika sekaligus epimorfisme dan monomorfisme yaitu suatu homomorfisme satu-satu dari onto G’.

Contoh 1:


Jika ada 2 buah grup yang memiliki struktur yang sama, misalnya multiplikatif dan grup matriks :


Dengan operasi perkalian matriks. Keduanya memiliki daftar Cayley yang identik. Perhatikan daftar Cayley berikut.









Kedua grup memiliki daftar Cayley yang identik, sehingga dikatakan kedua grup isomorf.


Contoh 2 :

B = dengan operasi + modulo 3 dan G = dengan operasi rotasi segitiga sama sisi terhadap pusat dengan sudut putar 120 derajat adalah grup-grup. Definisikan : . Perhatikanlah bahwa adalah isomorfisma.